Niezależna Pracownia Badań nad Rzeczywistością
Wyjdźmy od tego, że postrzegamy pewne obiekty. Zwykle jesteśmy w stanie wymienić kilka obiektów, które wyróżniamy w otaczającej nas rzeczywistości. W tej chwili postrzegam jako obiekt słownik leżący na moim biurku, postrzegam również jako obiekt laptopa, na którym piszę ten tekst, postrzegam też jako obiekt klawisz klawiatury mojego laptopa z literką 'p'. To co postrzegamy jako jeden obiekt, zależy od naszej percepcji, od tego, że reagujemy na takie, a nie inne bodźce, że widzimy światło o takiej, a nie inne częstości, że mamy taką a taką siłę, czy taką a taką masę, oraz od naszej uprzednio zgromadzonej wiedzy. W tym miejscu nie chcę rozstrzygać, czy własność bycia obiektem jest obiektywna - zależy od samej rzeczywistości, czy jest zależna od obserwatora. Ponieważ nie umiem w tym momencie określić, czym jest obiekt w oderwaniu od percepcji, na potrzeby tego rozważania założę, iż to, że dana rzecz jest obiektem, zależy od rzeczywistości i obserwatora. Na marginesie zauważmy, że w ujęciu, gdy za świat realnie istniejący uznajemy nasz świat wewnętrzny – problem subiektywności faktu bycia obiektem znika.
Chcemy teraz mówić o zbiorach obiektów. Co to jest zbiór obiektów? Wydaje się, że określając konkretny zbiór obiektów, czynimy pewną mentalną konstrukcję, ustalając, że dane obiekty należą do tego konkretnego zbioru, a inne nie. Pozornie jest to niepoprawna definicja, bo do zdefiniowania zbioru użyliśmy pojęcia należenia. Jednak mogliśmy użyć jakiegokolwiek innego pojęcia. Nie chodzi tu bowiem o nazwę tej relacji, a o to, że każdy obiekt może być w dwóch różnych stanach względem konkretnego zbioru – i to jest istota definicji. Zwyczajowo na określenie jednego z tych stanów mówimy, że obiekt należy do zbioru, a na określenie drugiego, że nie należy. Należy jeszcze dookreślić, co rozumiemy przez ustalenie, które elementy należą do zbioru, a które nie. Pozostawienie luki w tym miejscu może powodować różnie nieporozumienia. Uznamy, że zostało ustalone, które elementy należą do zbioru, a które nie wtedy i tylko wtedy, gdy o każdym obiekcie można się w skończonym czasie w sposób zupełnie pewny przekonać, czy należy do zbioru, czy nie.
W ten sposób mogę np. mówić o zbiorze wszystkich długopisów leżących w tej chwili na moim biurku. Wszystkie długopisy leżące na moim biurku są w jednym stanie względem tego zbioru (należą), a wszystkie inne obiekty w drugim (nie należą). Określając ten zbiór, stworzyłem pewną mentalną konstrukcję. Mogę teraz powiedzieć, że do tego zbioru należy niebieski długopis leżący na biurku w pobliżu mojego laptopa, mogę również powiedzieć, że mój laptop nie należy do tego zbioru.
Takie rozumienie zbioru jakie zaproponowałem dopuszcza zbiór pusty. Określając ten zbiór, dokonuję pewnej mentalnej konstrukcji, ustalając, że wszystkie obiekty będą w jednym stanie względem tego zbioru. Żaden obiekt nie będzie do tego zbioru należał.
Czy takie rozumienie zbioru pozwala na określanie zbiorów zbiorów? Wydaje się, że tak. Jeżeli już określę np. zbiór wszystkich długopisów, które leżą u mnie na biurku, mogę ten zbiór potraktować jako obiekt. W tym miejscu można przeprowadzić długą dyskusję na temat tego, czy rzeczywiście mogę tak zrobić. Ktoś mógłby być zwolennikiem traktowania jako obiekty tylko tych rzeczy, które fizycznie tworzą jedność. Jednak można zapytać, w jakim sensie mój laptop fizycznie tworzy jedność? Składa się przecież z poszczególnych części, lub schodząc o poziom niżej - składa się z oddalonych od siebie atomów powiązanych jedynie działającymi miedzy nimi siłami. Nie będziemy w tym miejscu rozstrzygać tych wątpliwości. Na razie zostańmy przy założeniu, że to czy coś jest obiektem, zależy od tego, czy jest tak traktowane przez obserwatora. W tym ujęciu zbiór wszystkich długopisów leżących na moim biurku, może być obiektem. Pamiętajmy jednak o tym, że dopuszczenie zbiorów zbiorów jest powołaniem do istnienia obiektów innego rodzaju – mówienie o nich zawsze będzie wzbudzało więcej filozoficznych kontrowersji niż mówienie o zbiorach samych obiektów nie będących zbiorami (czyli takich, które w naszej percepcji nie funkcjonują jako zbiór).
Możemy zatem wyróżnić zbiór, do którego będą należały: zbiór wszystkich długopisów leżących na moim biurku i zbiór wszystkich książek leżących na moim biurku. Będzie to zbiór, do którego będą należały tylko dwa obiekty i oba będą zbiorami. Możemy zacząć bawić się koncepcją zbioru i określać je w sposób rozmaity, np. możemy określić zbiór, do którego będą należały wszystkie długopisy leżące na moim biurku, zbiór wszystkich długopisów leżących na moim biurku i, zaszalejmy, mój laptop.
Powstaje teraz pytanie, czy tak określona koncepcja zbioru jest spójna. Innymi słowy, czy operując tak określonym pojęciem zbioru, nie natrafimy na paradoksy. Co będzie, gdy zechcemy określić zbiór wszystkich obiektów?
Teoria mnogości mówi nam, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje – a jak za chwilę się okaże, w jej języku to dokładnie to samo co zbiór wszystkich obiektów. Ale czy możemy użyć ją jako adekwatne narzędzie do opisu zbiorów w sensie określonym powyżej? Przez następne kilka akapitów będziemy rozważać tę kwestię.
Na początku należy wyjaśnić, że teoria mnogości mówi tylko o zbiorach. Każdy zbiór niepusty w obrębie tej teorii jest więc zbiorem zbiorów, ponieważ nie ma w niej żadnych obiektów poza zbiorami. Mówiąc element będziemy mieli w zasadzie na myśli zbiór, który należy do jakiegoś innego zbioru.
Przyjrzyjmy się teraz aksjomatom teorii mnogości Zermelo-Fraenkla. Są to wszystko zdania zbudowane według pewnej formalnie zadanej składni. Przytoczę je w oryginalnej, matematycznej pisowni (zmodyfikowanej tak aby używać tylko znaków ASCII), ale za każdym razem podam wytłumaczenie w języku potocznym.
A1. /\(y,z) (y = z <=> (/\(x) x:-y <=> x:-z).
Oznacza to, że dwa zbiory są tożsame wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element należy do jednego wtedy i tylko wtedy gdy należy do drugiego.
A2. \/(y)/\(x) not(x:-y).
Oznacza to, że istnieje taki zbiór, do którego nie należy żaden element.
A3. /\(x)/\(y)\/(z)/\(u) (u:-z <=> u = x lub u = y). Oznacza to, że dla każdych dwóch elementów istnieje zbiór który zawiera tylko te dwa elementy.
Poniższy aksjomat, nie będzie aksjomatem w ścisłym sensie, będzie to tak naprawdę reguła pozwalającą konstruować aksjomaty.
A4. Dla każdej zbudowanej zgodnie ze składnią teorii mnogości formuły P zawierającej tylko jedną zmienną wolną x i nie zawierającej zmiennych y i z, poniższe zdanie będzie aksjomatem /\(y)\/(z)/\(x) (x:-z <=> x:-y i P).
A5. /\(x)\/(u)/\(y) (y:-u <=> \/(z) (y:-z i z:-x)).
Oznacza to, że dla dowolnego zbioru x istnieje zbiór składający się ze wszystkich elementów zbiorów należących do zbioru x, czyli innymi słowy istnieje zbiór będący sumą zbiorów należących do zbioru x.
A6. /\(x)\/(z)/\(y) (y:-z <=> (/\(t) t:-y => t:-x )).
Oznacza to, że dla każdego zbioru istnieje zbiór wszystkich jego podzbiorów.
A7. \/(m)( (/\(t) ( /\(u) not(u:-t) ) => t:-m ) i /\(x) (x:-m => \/(z) z:-m i /\(v) (v=x lub (/\(h) h:-v <=> h=x)) <=> v:-z)).
Do wytłumaczenia tego aksjomatu musimy wprowadzić następujące oznaczenia. Niech 0 oznacza zbiór pusty, a {x1, x2, ..., xn} oznacza zbiór zawierający elementy x1, x2, ..., xn. Aksjomat A7 mówi, że istnieje zbiór zawierający następujące elementy 0; {0}; {0,{0}}; {0,{0},{0,{0}}}; {0,{0},{0,{0}},{0,{0},{0,{0}}}} ... i tak dalej i tak dalej. Jest to zbiór nieskończony.
A8. /\(x)( (\/(z) z:-x) => (\/(y) y:-x i /\(t) not(t:-x i t:-y)) )
Oznacza to, że do dowolnego niepustego zbioru x należy taki zbiór, który nie ma elementów wspólnych ze zbiorem x.
Do teorii mnogości należą powyższe aksjomaty oraz wszystkie zdania, które za pomocą określonych reguł można dowieść wychodząc z tych aksjomatów.
Aksjomat A2 mówi o istnieniu zbioru pustego. Aksjomat A7 mówi o istnieniu pewnego konkretnego zbioru nieskończonego. Pozostałe zbiory, których istnienie będziemy mogli wykazać na gruncie teorii mnogości będą albo zbiorami, których elementami będą zbiory, których istnienie pokazano wcześniej (aksjomaty A3 i A6), albo zbiorami zawartymi w zbiorach, których istnienie wykazano wcześniej (aksjomat A4), albo zbiorami będącymi sumą zbiorów, które są elementami zbioru, którego istnienie pokazano wcześniej (aksjomat A6). Istnienie innych zbiorów będzie niemożliwe do udowodnienia na gruncie teorii mnogości. Zatem za pomocą teorii mnogości nie pokażemy, że zbiór wszystkich długopisów leżących na moim stole jest faktycznie zbiorem.
Jaka jest więc zależność pomiędzy pojęciem zbioru w teorii mnogości a pojęciem zbioru, które przedstawiłem na początku tej pracy, które jak mi się wydaje służy nam do opisywania rzeczywistości? Z pewnością niektórym zbiorom, których istnienie można wykazać na gruncie teorii mnogości, odpowiadają pewne nasze konstrukcje mentalne, za pomocą których określamy zbiory obiektów w rzeczywistości. Do takich należą np. zbiór pusty, zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty, i tym podobne. Część myślicieli zgodzi się również, że takim zbiorem jest zbiór, którego istnienie wynika z aksjomatu A7.
Jednak niektóre zbiory, których istnienie da się wykazać na gruncie teorii mnogości nie będą miały żadnej odpowiadającej im konstrukcji mentalnej określającej jakiś rzeczywisty zbiór. Wynika to z aksjomatu A4 i twierdzenia Goedla. Z twierdzenia Goedla wynika, ze istnieje taka formuła zdaniowa P z jedną zmienną wolną i taki element k zbioru m, którego istnienie wynika z aksjomatu A7, że nie istnieje dowód zdania P(k), jak również nie istnieje dowód zdania 'nieprawda, że P(k)'. Na mocy aksjomatu A4 istnieje jednak zbiór zawierający wszystkie elementy t zbioru m takie, że zachodzi P(t). Czy taki zbiór istnieje w rzeczywistości? Nie, ponieważ z każdym zbiorem rzeczywistym łączy się pewna konstrukcja mentalna, za pomocą której można określić które obiekty należą do zbioru, a które nie. W tym wypadku nie ma możliwości stwierdzenia czy obiekt odpowiadający zbiorowi k w teorii mnogości należy do tego zbioru, czy nie.
Wobec zauważenia powyższych różnic mówiąc dalej o zbiorach w sensie teorii mnogości będziemy używać terminu zbiór teoriomnogościowy, a mówiąc o zbiorach w sensie naszkicowanym na początku tej pracy – zbiór rzeczywisty.
Ustaliliśmy zatem, że pojęcie zbioru teoriomnogościowego nie pokrywa się z pojęciem zbioru rzeczywistego. Możemy więc mówić o pewnej nieadekwatności teorii mnogości do orzekania o zbiorach rzeczywistych.
Wróćmy teraz do problemu, który postawiliśmy wcześniej, pytania czy istnieje zbiór wszystkich obiektów? Przypomnijmy, że w języku teorii mnogości zbiór wszystkich obiektów to dokładnie to samo co zbiór wszystkich zbiorów. W rozważaniach opartych o pojecie zbioru rzeczywistego musimy uznać, że zbiór wszystkich obiektów istnieje. Ściśle rzecz biorąc istnieje tak samo dobrze jak, istnieje zbiór pusty. Jeżeli bowiem określając zbiór pusty ustaliliśmy, że żaden obiekt do niego nie należy, innymi słowy ustaliliśmy że każdy obiekt jest w jednym stanie wobec zbioru pustego (nie należy), to możemy równie łatwo określić inny zbiór wobec którego każdy obiekt jest w drugim stanie (należy), czyli każdy obiekt należy do tego zbioru – jest to więc zbiór wszystkich obiektów. Być może wielu myślicielom nie spodoba się ten zbiór, jednak wtedy musi się im się również nie podobać zbiór pusty. Powodem dla którego zbiór wszystkich obiektów może się nie podobać jest to, że w przypadku gdy dopuszczamy mówienie o zbiorach obiektów jako obiektach (pamiętamy, że rozważając to wcale nie uznaliśmy tego za zupełnie oczywiste) zbiór wszystkich obiektów sam będzie obiektem, a zatem będzie należał sam do siebie. Należy sobie jednak zdać sprawę, że analogicznie kontrowersyjny będzie fakt, że zbiór pusty nie należy sam do siebie – aby przekonać się o tej analogii wystarczy tylko zamienić znaczenia słów “należy” i “nie należy”.
Nie wiem w tym momencie, czy mówienie o zbiorze wszystkich obiektów w języku zbiorów rzeczywistych, prowadzi do paradoksu. Chcę pokazać jednak, że rozumowanie którym posługujemy się w teorii mnogości (bez aksjomatu A8!), aby wykazać, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje, nie da się przenieść na zbiory rzeczywiste. Uzmysławia to według mnie, że ewentualny paradoks nie będzie tu aż tak prosty do uzyskania.
Jeden z teoriomnogościowych dowódów, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje opiera się na paradoksie Rusella. Jest to dowód nie wprost. Zakładamy, że zbiór wszystkich zbiorów istnieje i nazywamy go x. Na mocy aksjomatu A4 istnieje zbiór y = {t:-x : not(t:-t)}, czyli zbiór wszystkich elementów zbioru x, które nie są swoimi własnymi elementami. Zbadajmy prawdziwość zdania y:-y. Oczywiście gdyby y:-y, byłoby not(y:-y) – zatem nie prawda, że y:-y. Zbadajmy prawdziwość zdania not(y:-y), wtedy y:-y – zatem nieprawda, że not(y:-y). Ale zdanie 'y:-y lub not(y:-y)' jest zdaniem zawsze prawdziwym, wobec tego sprzeczność. Jest to klasyczny paradoks Rusella, który w tym przypadku prowadzi do wniosku, że zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje. W tz. naiwnej teorii mnogości prowadził on do sprzeczności.
Rozumowania tego nie przełożymy na zbiory rzeczywiste. Zbiór rzeczywisty ma przecież taką własność, że o każdym obiekcie można się w skończonym czasie w sposób zupełnie pewny przekonać, czy należy do zbioru, czy nie. Gdyby więc y – zbiór wszystkich zbiorów, które do siebie nie należą, był zbiorem w sensie rzeczywistym, nie mogłoby być wątpliwości czy należy on do siebie, czy nie. Paradoks Rusella pokazuje, że właśnie taka wątpliwość jest, a zatem zbiór y nie jest na pewno zbiorem rzeczywistym.
W niniejszej pracy zaproponowałem pewne rozumienie pojęcia zbioru i pokazałem, że nie prowadzi ono do prostego paradoksu, którego można by się było spodziewać znając problematykę związaną z teorią mnogości. Nie wykazałem jednak, że pojęcie zbioru zaproponowane tutaj nie prowadzi do żadnych sprzeczności.
Michał Stanisław Wójcik, 14 listopada 2007